-
پۈتۈن سانلار ۋە پۈتۈن بۆلۈنۈشكە دائىر بىلىملەر - [قىزىقارلىق ماتېماتىكا]
2010-10-23
.1پۈتۈن سانلار توپلىمىنىڭ يېپىق بولۇش ۋە يېپىق بولماسلىق خۇسۇسىيتى
ھەممىمىزگە مەلۇم ، پۈتۈن سانلار توپلىمىدىكى ھەرقانداق ئىككى ياكى ئىككىدىن كۆپ بولغان پۈتۈن سانلارنىڭ يىغندىسى ، كۆپەيتمىسى ، ئايرىمىسى يەنىلا پۈتۈن سان بولىدۇ . پۈتۈن سانلارنىڭ بۇ خىل خۇسۇسىيتى پۈتۈن سانلار توپلىمىنىڭ قوشۇش ، ئېلىش ، كۆپەيتىش ئەمىلىگە نىسبەتەن يېپىق بولۇش خۇسۇسىيتى دەپ ئاتىلىدۇ .
ئەمما ، پۈتۈن سانلار توپلىمىدىكى ھەرقانداق ئىككى ياكى ئۇنىڭدىن كۆپ بولغان پۈتۈن سانلارنىڭ بۆلۈنمىسىنىڭ پۈتۈن سان بولۇشى ناتايىن . پۈتۈن سانلارنىڭ بۇ خىل خۇسۇسىيتى پۈتۈن سانلار توپلىمنىڭ بۆلۈش ئەمىلىگە نىسبەتەن يېپىق بولماسلىق خۇسىيتى دەپ ئاتىلىدۇ .
بۇ ئىككى خۇسۇسىيەت بەك مۇھىم خۇسۇسىيەت ھېسابلىنىدۇ .
1-مىسال : تەڭلىك دا x دىن باشقا ئەزالارنىڭ ھەممىسى پۈتۈن سان بولسا ، ئۇھالدا x نىڭمۇ چوقۇم پۈتۈن سان بولۇشى كېرەكلىكىنى ئىسپاتلاڭ .
ئىسپات : يۇقارقى تەڭلىمىدىن بولىدىغانلىقىغا ئېرىشەلەيمىز . پۈتۈن سان توپلىمىنىڭ قوشۇش ، ئېلىش ئەمىلىگە نىسبەتەن يېپىق بولۇش خۇسۇسىيتىگە ئاساسەن تەڭلىكنىڭ ئوڭ تەرىپى نىڭ پۈتۈن سان ئىكەنلىكىنى بىلىشكە بولىدۇ . شۇڭا x مۇ چۇقۇم پۈتۈن سان بولىدۇ .
2- مىسال : m,n لارنىڭ قانداق پۈتۈن سان بولۇشىدىن قەتئىي نەزەر ، 4m-1 تىپىدىكى پۈتۈن سان بىلەن 4n+1 تىپىدىكى پۈتۈن ساننىڭ ھامان تەڭ بولمايدىغانلىقىنى ئىسپاتلاڭ .
ئىسپات : پۈتۈن سانلار توپلىمىنىڭ قوشۇش ، ئېلىش ، كۆپەيتىش ئەمىلىگە نىسبەتەن يېپىق بولۇش خۇسۇسىيتىگە ئاساسەن ، خالىغان پۈتۈن سان m,n لارغا نىسبەتەن 4m-1 بىلەن 4n+1 نىڭ پۈتۈن سان بولىدىغانلىقىنى بىلىشكە بولىدۇ .
ئەمدى ، بىز بۇ مەسىلىنى قارشى چىقىپ ئىسپاتلايلى . يەنى خالىغان بىر پۈتۈن سان m,n لارغا نىسبەتەن 4m-1 تىپىدىكى پۈتۈن سان بىلەن 4n-1 تىپىدىكى پۈتۈن ھامان تەڭ بولىدۇ دەپ پەرەز قىلساق ، ئۇھالدا تەڭلىك4m-1=4n+1 قۇرۇلىدۇ . بۇنىڭدىن بولىدىغانلىقىغا ئېرىشىمىز . پۈتۈن سانلار توپلىمىنىڭ ئېلىش ئەمىلىگە نىسبەتەن يېپىق بولۇش خۇسۇسىيتىگە ئاساسەن m-n نىڭ نەتىجىسى چوقۇم پۈتۈن سان بولۇشى كېرەك . بولسا پۈتۈن سان ئەمەس . شۇڭا بىزنىڭ پەرىمىز خاتا . دېمەك مەسلە ئىسپاتلاندى .
2. تەبىئىي سانلارنى ئاددىي ئىپادىللەش ئۇسۇلى
كىشىلەرنىڭ سانغا بولغان تۇنۇشى تەبىئىي سانلارنى تونۇشتىن باشلانغان .
مۇسبەت پۈتۈن سان 5،4،3،2،1،.... لاردىن تۈزۈلگەن توپلام تەبىئىي سانلار توپلىمى ياكى مۇسبەت پۈتۈن سانلار توپلىمى دەپ ئاتىلىدۇ . كېيىن ئالىملار بۇ سانلار توپلىمىغا 0 نى كىرگۈزۈش ئارقىلىق يېڭى بىر سانلار توپلىمىنى ھاسىل قىلىپ ، ئۇ نى كېڭەيتىلگەن تەبىئىي سانلار توپلىمى دەپ ئاتىدى . ھازىر ئوتتۇرا مەكتەپ دەرىسلىكىدە ئۆتۈلۋاتقان تەبىئىي سانلار توپلىمى دەل مۇشۇ كېڭەيتىلگەن سانلار توپلىمىدن ئىبارەت .
ئونلۇق ساناق سىستېمىسى بويىچە سان خاتىلەش ئۇسۇلىدا 0،1،2،3،4،5،6،7،8،9 دىن ئىبارەت 10 رەقەم ئارقىلىق خالىغان بىر تەبىئىي ساننى ئىپادىلەشكە بولىدۇ .
ئومۇمەن ، بىر ئىككى خانىلىق تەبىئىي سان ئاددىي قىلىپ يېزىلىدۇ . يەنى بولىدۇ ؛
بىر ئۈچ خانىلىق تەبىئىي سان ئاددىي قىلىپ يېزىلىدۇ . يەنى بولىدۇ ؛
.......................................................................................
بىر n خانىلىق تەبىئىي سان قىلىپ يېزىلىدۇ . يەنى
بولىدۇ .بۇلاردىكى بولسا 0دىن تارتىپ 9 غىچە بولغان رەقەملەرنى ئىپادىلەيدۇ .
3- مىسال : 4 خانىلىق بىر ساننى تېپىڭ ، ئۇ ، ئۆزىنىڭ مىڭلەر خانىسىدىكى رەقەمنى چىقىرۋەتكەندىن كېيىنكى ئۈچ خانىلىق سانغا 3 نى كۆپەيتىپ چىققان كۆپەيتمىدىن 42 نى ئېلىۋەتكەندىكى ئايرىمىغا تەڭ بولسۇن .
يېشىش : بۇ 4 خانىلىق ساننى دەپ پەرەز قىلساق ، ئۇنىڭ مىڭلەر خانىسىدىكى رەقەمنى چىقىرۋەتكەندىن كېيىن ھاسىل بولغان 3 خانىلىق سان بولىدۇ . مەسىلنىڭ مەنىسىدىن گە ئېرىشكىلى بولىدۇ . بۇنىڭدىن
غا ئېرىشەلەيمىز . a بولسا 4 خانىلىق ساننىڭ مىڭلار خانىسىدىكى رەقەم بولغانلىقتىن a نۆلگە تەڭ بۇلالمايدۇ . بولسا 3 خانىلىق سان بولغانلىقتىن 500a+21 نىڭ قممىتى چوقۇم 1000 دىن كىچىك بولۇشى كېرەك . دېمەك a=1 بولىدۇ . يەنى بولۇپ ، ئەسىلدىكى 4 خانىلىق سان 1521 بولىدۇ .
3. تەبىئىي سانلارنىڭ خۇسۇسىيتى
(1)1 بولسا تەبىئىي سان ؛
(2)ھەر بىر ئېنىق تەبىئىي سان a غا نىسبەتەن ئۇنىڭ ئارقىسىدىن كېلىدىغان بىر ئېنىق سان مەۋجۇت بولىدۇ ھەم مۇ چوقۇم تەبىئىي سان بولىدۇ . ( بىر ساننىڭ ئارقىسىدىن كېلىدىغان سان شۇ ساننىڭ ئارقىسىغا ئۇلىنىپلا كېلىدىغان ساننى بىلدۈرىدۇ . مەسلەن ، 1 نىڭ ئارقىسىدىن كېلىدىغان سان 2 ؛ 2 نىڭ ئارقىسىدىن كېلىدىغان سان 3 دېگەندەك ) ؛
3)1 بولسا ئارقىسىدىن كېلىدىغان سان ئەمەس ؛
(4)بىر سان پەقەت مەلۇم بىر ساننىڭ ئارقىسىدىن كېلىدىغان سان بۇلالايدۇ ، ياكى ھەرگىز ئارقىسىدىن كېلىدىغان سان ئەمەس . يەنى دىن چوقۇم a=b نى كەلتۈرۈپ چىقىرىشقا بولىدۇ ؛
(5)خالىغان بىر تەبىئىي سانلار توپلىمى 1 نى ئۆز ئىچىگە ئالغان بولسا ھەمدە a نى شۇنداقلا a نىڭ ئارقىسىدىن كېلىدىغان سان نىمۇ ئۆز ئىچىگە ئالىدۇ دېسەك ، ئۇھالدا بۇ توپلام بارلىق تەبىئىي سانلارنى ئۆز ئىچىگە ئالىدۇ ؛
تەبىئىي سانلارنىڭ بۇ 5 تۈرلۈك خۇسۇسىيتى پېئانو ( Peano , 1932-1858 ) تەرىپىدىن ئوتتۇرغا قويۇلغان ، شۇڭا ئادەتتە ئۇنى تەبىئىي سانلارنىڭ پېئانو ئاكسىئومىسى دەپ ئاتايمىز . بولۇپمۇ ئۇنىڭ ئىچىدىكى (5) خۇسۇسىيەت ماتېماتىكىلىق ئىندۇكسىيە ئۇسۇلىنىڭ ئاساسى بولغاچقا ، ئۇنى ئىندۇكىسيە ( يىغىنچاقلاش ) پىرىنسىپى دەيمىز .
4. ئەڭ كىچىك سان پىرىنسىپى
تولۇق تەرتىپ پىرىنسىپى دەپمۇ ئاتىلىدۇ . تەبىئىي سانلارنىڭ خالىغان بىر بوش بولمىغان توپلىمىدا چوقۇم بىر ئەڭ كىچىك سان بار بولىدۇ . بۇ پىرىنسىپ ئىندۇكىسىيە پىرىنسىپى بىلەن تەڭ كۈچلۈك .
5. قالدۇقلۇق بۆلۈش
خالىغان ئىككى پۈتۈن سان a,b لارغا نىسبەتەن ( بۇنىڭدا b نۆلگە تەڭ ئەمەس ) ، a نى b غا بۆلگەندە تولۇق بولمىغان بۆلۈنمە q ، قالدۇق r گە ئېرىشكىلى بولىدۇ ( r, q لار بولسا پۈتۈن سان ) . يەنى بولىدۇ . بۇ خىل بۆلۈش قالدۇقلۇق بۆلۈش دەپ ئاتىلىدۇ .
1- تېئورما : a مۇسبەت پۈتۈن سان ، b بولسا نۆلگە تەڭ بولمىغان پۈتۈن سان بولسا ، ئۇھالدا ئىككى پۈتۈن سان p , r لار مەۋجۇت بولۇپ ، نى كۈچكە ئىگە قىلىدۇ ، ھەم دە p , r لار بىردىنبىر بولىدۇ . ( ئىسپاتى قالدۇرۇلدى )
4- مىسال : تۆۋەندىكىلەرگە نىسبەتەن a نى b غا بۆلگەندىكى قالدۇقلۇق بۆلۈش ئىپادىسىنى يازايلى :
يېشىش : (1) بۇنىڭدا r=0 , q=17 بولىدۇ .
(2) بۇنىڭدا r=15 , q=-6 بولىدۇ .
پۈتۈن سانلارنىڭ قالدۇقلۇق بۆلۈنۈش ئىپادىسى دە b=2 دېسەك ، ئۇ ھالدا خالىغان بىر پۈتۈن ساننى 2نى ئۆلچەم قىلىپ ، « 0 تۈرىدىكى قالدۇق » ۋە « 1 تۈردىكى قالدۇق » دەپ ئايرىساق ، بۇ ئىككى تۈرنى ئايرىم - ئايرىم ھالدا ، بىلەن قىلىپ ئىپادىلەشكە بولىدۇ ، بۇنىڭدىكى n بولسا پۈتۈن سان بولىدۇ .
ئەگەر b=3 دېسەك ، ئۇھالدا خالىغان بىر پۈتۈن ساننى 3 نى ئۆلچەم قىلىپ ، «0 تۈرىدىكى قالدۇق » ، «1 تۈرىدىكى قالدۇق » ۋە « 2 تۈردىكى قالدۇق » دەپ ئايرىساق ، بۇ 3 تۈرنى ئايرىم - ئايرىم ھالدا قىلىپ ئىپادىلەشكە بولىدۇ . بۇنىڭدىكى n بولسا پۈتۈن سان .
پۈتۈن سانلارنى مۇشۇنداق تۈرلەرگە ئايرىۋالساق ھېسابلاشلاردا بىزگە جىق ئەۋزەللىكلەرنى ئېلىپ كىلىدۇ .
6. پۈتۈن بۆلۈنۈش ۋە ئۇنىڭ خۇسۇسىيەتلىرى
پۈتۈن سان a نى ، نۆلگە تەڭ بولمىغان پۈتۈن سان b غا بۆلگەندىكى قالدۇقلۇق بۆلۈش ئىپادىسى دا ، r=0 بولسا ، ئۇ ھالدا b سانى ، aساننى پۈتۈن بۆلىدۇ دەيمىز . ھەم تۆۋەندىكىدەك ئېنىقلىما بېرىمىز:
ئېنىقلىما : a,b لارنى خالىغان ئىككى پۈتۈن سان دەپ پەرەز قىلساق ( بۇنىڭدا b نۆلگە تەڭ ئەمەس ) ، ئەگەر پۈتۈن سان q مەۋجۇت بولۇپ تەڭلىك a=bq نى كۈچكە ئىگە قىلسا ، ئۇھالدا بىز a نى b غا پۈتۈن بۆلىنىدۇ دەيمىز . ھەم قىلىپ يازىمىز . بۇ چاغدا بىز يەنە b نى a نىڭ بۆلگۈچىسى ( ياكى كۆپەيتكۈچىسى ) ، a نى b نىڭ ھەسسىلىك سانى دەپ ئاتايمىز .
ئەگەر بۇنداق پۈتۈن سان q مەۋجۇت بولمىسا ، a نى b غا پۈتۈن بۆلۈنمەيدۇ دەيمىز ( ياكى b بولسا a نى پۈتۈن بۆلمەيدۇ ) .
مەسلەن ، بولغانلىقتىن بولىدۇ ؛
بولغانلىقتىن بولىدۇ ؛
5- مىسال : a نۆلگە تەڭ بولمىغان پۈتۈن سان بولسا ، بولىدىغانلىقىنى ئىسپاتلاڭ .
ئىسپات : a نۆلگە تەڭ بولمىغانلىقتىن a نى بۆلگۈچى قىلىشقا بولىدۇ . يەنە بولغانلىقتىن ئېنىقلىمىغا ئاساسەن ، (q=1 بولىدۇ ) بولىدۇ .
6- مىسال : a پۈتۈن سان بولسا ، بولىدىغانلىقىنى ئىسپاتلاڭ .
ئىسپات : 1 نۆلگە تەڭ بولمىغانلىقتىن ئۇنى بۆلگۈچى قىلىشقا بولىدۇ . يەنە بولغانلىقتىن ئېنىقلىمىغا ئاساسەن ( q=a بولىدۇ ) بولىدۇ . دېمەك 1 ھەرقانداق پۈتۈن ساننىڭ مۇقەررەر بۆلگۈچىسى بولىدۇ . يەنى ھەر قانداق پۈتۈن سان 1 نىڭ ھەسسىلىك سانى بولىدۇ .
7- مىسال : a نۆلگە تەڭ بولمىغان پۈتۈن سان بولسا بولىدىغانلىقىنى ئىسپاتلاڭ .
ئىسپات : a نۆلگە تەڭ بولمىغانلىقتىن بۆلگۈچى قىلىشقا بولىدۇ . يەنە بولغانلىقتىن ئېنىقلىمىغا ئاساسەن ( q=0 بولىدۇ ) بولىدۇ . يەنى 0 بولسا ھەر قانداق بىر پۈتۈن ساننىڭ ھەسسلىك سانى بولىدۇ .
1-خۇسۇسىيەت : ئەگەر پۈتۈن سان a ، پۈتۈن سان b غا پۈتۈن بۆلۈنسە . ھەم پۈتۈن سان b ، پۈتۈن سان c غا پۈتۈن بۆلۈنسە ، ئۇھالدا پۈتۈن سان a ، پۈتۈن سان c غا پۈتۈن بۆلىنىدۇ . يەنى بولىدۇ .
2- خۇسۇسىيەت :ئەگەر پۈتۈن سان a,b لارنىڭ ئىككىلىسى پۈتۈن سان c غا پۈتۈن بۆلۈنسە، ئۇھالدا پۈتۈن سان a,b لارنىڭ يىغىندىسى بىلەن ئايرىمىسىمۇ c غا پۈتۈن بۆلىنىدۇ . يەنى بولىدۇ .
-خۇسۇسىيەت : ئەگەر پۈتۈن سان a ، پۈتۈن سان b غا پۈتۈن بۆلۈنسە . ھەم پۈتۈن سان c ، پۈتۈن سان d غا پۈتۈپ بۆلۈنسە ، ئۇھالدا ac مۇ bd غا پۈتۈن بۆلىنىدۇ . يەنى بولىدۇ .
نەتىجە : ئەگەر پۈتۈن سان a ، پۈتۈن سان b غا پۈتۈن بۆلۈنسە ، ھەم c نۆل بولمىغان پۈتۈن سان بولسا ، ئۇھالدا ac چوقۇم bc غا پۈتۈن بۆلىنىدۇ .
4- خۇسۇسىيەت : ئەگەر بولسا ، ئۇھالدا بولىدۇ . بۇنىڭ ئەكسىمۇ ئورۇنلۇق بولىدۇ . يەنى بولىدۇ .
8- مىسال : كۆرنۈشتىكى 6 خانىلىق ساننىڭ 7 گە پۈتۈن بۆلىندىغانلىقىنى ئىسپاتلاڭ .
ئىسپات : چۈنكى
بولىدۇ . ( بۇنى قانداق كەلتۈرۈپ چىقىرىمىز ؟ ئۆزىڭىز ئويلىنىپ بېقىڭ .)
شۇڭا بولىدۇ . يەنە بولغانلىقتىن ، بولىدۇ . 1- خۇسۇسىيەتكە ئاساسەن ، بىلەن لاردىن نى كەلتۈرۈپ چىقىرىشقا بولىدۇ . بولغانلىقتىن ، بولىدۇ .
9- مىسال : نىڭ 37 گە پۈتۈن بۆلۈندىغانلىقىنى ئىسپاتلاڭ .
ئىسپات : چۈنكى
بولىدۇ ،
شۇڭا بولسا 37 گە پۈتۈن بۆلىنىدۇ .
يەنە ،
بولىدۇ. شۇڭا بولسا 37 گە پۈتۈن بۆلىنىدۇ . 2- خۇسۇسىيەتتىن ، گە ئېرىشكىلى بولىدۇ .
10- مىسال : ئارقىمۇ ئارقا كەلگەن ئۈچ پۈتۈن ساننىڭ ئىچىدە چوقۇم بىرسى 3 گە پۈتۈن بۆلۈندىغانلىقىنى ئىسپاتلاڭ.
ئىسپات : بۇ ئارقىمۇ ئارقا كەلگەن 3 پۈتۈن ساننى a,a+1,a+2 دەپ پەرەز قىلساق ، 3 نى ئۆلچەم قىلغان پۈتۈن سانلار تۈرىگە ئاساسەن ، بۇ سانلارنىڭ بىرسى يا 3n تۈرىدىكى ، يا 3n+1 تۈرىدىكى ، ياكى 3n+2 تۈرىدىكى پۈتۈن سان بولىدۇ .
ئەگەر a=3n بولسا ، روشەنكى a بولسا ، 3 گە پۈتۈن بۆلىنىدىغان سان بولىدۇ .
ئەگەر a=3n+1 بولسا ، ئۇھالدا a+2=3n+3 بولۇپ ، a+2 دېگەن سان 3 كە پۈتۈن بۆلىنىدۇ .
ئەگەر a=3n+2 بولسا ، ئۇھالدا a+1=3n+3 بولۇپ ، a+1 دېگەن سان 3 كە پۈتۈن بۆلىنىدۇ .
يۇقارقىلارنى خۇلاسىلىسەك ، مەسلە ئىسپاتلىنىدۇ .
تېئورما : ئارقىمۇ ئارقا كەلگەن n دانە پۈتۈن ساننىڭ ئىچىدىكى بىر سان چوقۇم n گە پۈتۈن بۆلىنىدۇ .
7. تەبىئىي سانلارنىڭ بىر قىسىم پۈتۈن سانلارغا بۆلۈنۈش ئالاھىدىلىكى
1-قائىدە : بىر مۇسبەت پۈتۈن ساننىڭ 2 گە پۈتۈن بۆلۈنۈشىنىڭ يېتەرلىك - زۆرۈر شەرتى : بۇ ساننىڭ ئەڭ ئاخىرقى خانىسىنىڭ رەقىمى جۈپ سان بولۇشتىن ئىبارەت .
چۈنكى ، خالىغان بىر تەبىئىي ساننى 10نىڭ دەرىجىلىرىنىڭ يىغىندىسى شەكلىدە
يېزىشقا بۇلاتتى . يەنى
قىلىپ يېزىشقا بۇلاتتى . بۇنىڭدا دىن باشقا رەقەملەرنىڭ كوئېففېنسىنتلىرىدا 10 بار . شۇڭا بۇلار 2 گە پۈتۈن بۆلىنىدۇ . دېمەك پەقەت لا 2 گە پۈتۈن بۆلۈنسە بولدى دېگەن گەپ . شۇڭا بولسا 0،2،4،8 لارنىڭ بىرسى بولىدۇ .
2- قائىدە : بىر مۇسبەت پۈتۈن ساننىڭ 5 كە پۈتۈن بۆلۈنۈشنىڭ يېتەرلىك - زۆرۈر شەرتى : بۇ ساننىڭ ئەڭ ئاخىرقى خانىسىدىكى رەقەم 0 ياكى 5 بولۇشتىن ئىبارەت .
3- قائىدە : بىر مۇسبەت پۈتۈن ساننىڭ 3 كە ياكى 9 غا پۈتۈن بۆلۈنۈشنىڭ يېتەرلىك - زۆرۈر شەرتى : بۇ ساننىڭ ھەرقايسى خانىلىرىدىكى رەقەملىرىنىڭ يىغىندىسى 3 كە ياكى 9 غا پۈتۈن بۆلۈنۈشتىن ئىبارەت .
بۇ قائىدىنىڭ نەتىجىسى : بىر مۇسبەت پۈتۈن ساننىڭ ھەر قايسى خانىلىرىدىكى رەقەملىرىنىڭ يىغىندىسىنى 3 كە ياكى 9 غا بۆلگەندىكى قالدۇق بىلەن مۇشۇ ساننىڭ ئۆزىنى 3 كە ياكى 9 غا بۆلگەندىكى قالدۇق تەڭ بولىدۇ .
4- قائىدە : بىر مۇسبەت پۈتۈن ساننىڭ 4 كە ياكى 25 كە پۈتۈن بۆلۈنۈشنىڭ يېتەرلىك - زۆرۈر شەرتى : بۇ ساننىڭ ئەڭ ئاخىرقى ئىككى خانىسىدىكى رەقىمى ئىپادىلىگەن ئىككى خانىلىق ساننىڭ (رەقەملەرنىڭ ئورنى ئالماشتۇرۇلمايدۇ) 4 كە ياكى 25 ك پۈتۈن بۆلۈنۈشىدىن ئىبارەت .
5- قائىدە : بىر مۇسبەت پۈتۈن ساننىڭ 8 كە ياكى 125 كە پۈتۈن بۆلۈنۈشنىڭ يېتەرلىك - زۆرۈر شەرتى : بۇ ساننىڭ ئەڭ ئاخىرقى 3 خانىسىدىكى رەقەملەر ئىپادىلىگەن 3 خانىلىق ساننىڭ ( رەقەملەرنىڭ ئورنى ئالماشتۇرۇلمايدۇ ) 8 كە ياكى 125 كە پۈتۈن بۆلۈنۈشىدىن ئىبارەت .
6- قائىدە : بىر مۇسبەت پۈتۈن ساننىڭ گە پۈتۈن بۆلۈنۈشنىڭ يېتەرلىك - زۆرۈر شەرتى : بۇ ساننىڭ ئەڭ كام دېگەندە ئاخىرقى k خانىسىدىكى رەقەملەرنىڭ ھەممىسى 0 بولۇشتن ئىبارەت .
7- قائىدە : بىر مۇسبەت پۈتۈن ساننىڭ 7 كە ياكى 11 گە ياكى 13 كە پۈتۈن بۆلۈنۈشنىڭ يېتەرلىك - زۆرۈر شەرتى :
بۇ ساننىڭ ئەڭ ئاخىرقى 3 خانىسىدىكى رەقەملەر ئىپادىلىگەن 3 خانىلىق سان ( رەقەملەرنىڭ ئورۇنلىرى ئالماشتۇرۇلمايدۇ ) بىلەن قالغان رەقەملىرى ئىپادىلىگەن سان ( رەقەملىرىنىڭ ئورۇنلىرى ئالماشتۇرۇلمايدۇ ) دىن چوڭىدىن كىچىكىنى ئېلىۋەتكەندىكى ئايرىما 7 ياكى 11 ۋە ياكى 13 كە پۈتۈن بۆلۈنۈشتىن ئىبارەت .
8- قائىدە : بىر مۇسبەت پۈتۈن ساننىڭ ، تاق نومۇرلۇق خانىسىدىكى رەقەملىرىنىڭ يىغىندىسى بىلەن جۈپ نومۇرلۇق خانىدىكى رەقەملىرىنىڭ يىغىندىسىىنىنڭ ئايرىمىسى 11 گە پۈتۈن بۆلۈنسە ، بۇ سان 11 گە پۈتۈن بۆلۈنۈدۇ .
10- قائىدە : بىر تەبىئىي سان ، پۈتۈن سان a بىلەن پۈتۈن سان b غا پۈتۈن بۆلۈنسە ، ئۇھالدا بۇ سان a بىلەن b نىڭ كۆپەيتمىسىگە پۈتۈن بۆلۈنۈدۇ .
11- مىسال : بىر تەبىئىي سان نىڭ 9 بىلەن 11 نىڭ ھەسسىلىك سانى ئىكەنلىكى بېرىلگەن بولسا ، بۇ ساننى ئېنىقلاڭ .
يېشىش : بۇ سان 9 نىڭ ھەسسىلىك سانى بولغانلىقتىن ئۇنىڭ رەقەملىرىنىڭ يىغىندىسى 21+a+c مۇ 9 نىڭ ھەسسىلىك سانى ( يەنى 9 غا پۈتۈن بۆلۈنۈدۇ ) بولىدۇ .
يەنە بۇ سان 11 نىڭ ھەسسىلىك سانى بولغانلىقتىن ئۇنىڭ تاق نومۇرلۇق خانىسى (1- ، 3- ، 5- ، 7- خانىسى ) دىكى رەقەملىرىنىڭ يىغىندىسى 17+a بىلەن جۈپ نومۇرلۇق خانىسى (2- ، 4- ، 6- خانىسى ) دىكى رەقەملىرىنىڭ يىغىندىسى 4+c نىڭ ئايرىمىسى a-c+13 مۇ 11 نىڭ ھەسسىلىك سانى ( يەنى 11 گە پۈتۈن بۆلۈنۈدۇ ) بولىدۇ .
ھەم a, b لار 0 دىن 9 غىچە بولغان رەقەملەرگە ۋەكىللىك قىلغانلىقتىن بولىدۇ . 21+a+c بولسا 9 نىڭ ھەسسىلىك سانى بولغانلىقتىن a+c+21=27 ياكى a+c+21=36 بولىدۇ .
يەنە a-c+13 بولسا 11 نىڭ ھەسسىلىك سانى بولغانلىقتىن
a-c+13=11 ياكى a-c+13=22 بولىدۇ . بۇلاردىن تۆۋەندىكى 4 گۇرۇپپا تەڭلىمىگە ئېرىشەلەيمىز :
يېشىش ئارقىلىق پەقەت 1- گۇرۇپپىنىڭ يېشىمى بارلىقىغا ئېرىشىمىز . يەنى a=2 , c=4 بولۇپ ، بۇ سان 6224427 بولىدۇ .
8. تۈپ سان ۋە مۇرەككەپ سان
ئىككى تەبىئي سان a بىلەن b گە نىسبەتەن ، ئەگەر a سان ، b سانغا پۈتۈن بۆلۈنسە ، ئۇھالدا b ساننى ، a ساننىڭ مۇسبەت بۆلگۈچىسى دەيمىز .
روشەنكى 1 ھەر قانداق تەبىئي ساننىڭ مۇسبەت بۆلگۈچىسى بولىدۇ . تەبىئي سان a غا نىسبەت ئېيىتقاندا a ئۆزىنىڭمۇ مۇسبەت بۆلگۈچىسى بولىدۇ . a دىن چوڭ بولغان تەبىئىي سانلارغا a سانى پۈتۈن بۆلۈنمەيدۇ . شۇڭا a سانى ئكزىنىڭ بۆلگۈچىسى ئىچىدە ئەڭ چوڭى بولىدۇ . دېمەك ھەر بىر تەبىئىي ساننىڭ مۇسبەت بۆلگۈچىسى چەكلىك بولىدۇ .
ئېنىقلىما : 1 دىن چوڭ بولغان بىر تەبىئىي ساننىڭ 1 ۋە ئۆزىدىن باشقا مۇسبەت بۆلگۈچىسى بولمىسا ، بۇنداق تەبىئىي سانلار تۈپ سان دەپ ئاتىلىدۇ .
1 دىن چوڭ بولغان بىر تەبىئىي ساننىڭ 1 ۋە ئۆزىدىن باشقا يەنە مۇسبەت بۆلگۈچىسى بار بولسا بۇنداق تەبىئىي سانلات مۇرەككەپ سان دەپ ئاتىلىدۇ .
دېمەك ، تەبىىي ساننىڭ مۇسبەت بۆلەۈچىسىنىڭ سانىغا ئاساسەن ، ئۇنى 3 تۈرگە ئايرىشقا بولىدۇ :
(1)بىرلىك 1 --- پەقەت بىرلا مۇسبەت بۆلگۈچسى بار بولغان سان .
(2)تۈپ سان --- پەقەت ئىككىلا مۇسبەت بۆلگۈچسى (1 ۋە ئۆزى ) بار بولغان سان .
(3)مۇرەككەپ سان --- مۇسبەت بۆلگۈچسىنىڭ سانى 3 ياكى 3 تىن كۆپ بولغان سان .
تەبىئىي سانلار توپلىمىدىن بىلەلەيمىزكى ، 1 بولسا تۈپ سانمۇ ئەمەس ، مۇرەككەپ سانمۇ ئەمەس ؛ 2 بولسا ئەڭ كىچىك بولغان ھەمدە بىردىنبىر جۈپ تۈپ سان ؛ 3 بولسا ئەڭ كىچىك تاق تۈپ سان ؛
12- مىسال : ئەگەر ئىكەنلىكى بېرىلگەن بولسا ، n نىڭ بىر مۇرەككەپ سان ئىكەنلىكىنى ئىسپاتلاڭ .
ئىسپات : چۈنكى
بولىدۇ . بۇنىڭدىن بىلەلەيمىزكى n نىڭ ۋە دىن ئىبارەت بۆلگۈچىلىرى بار . شۇڭا n بولسا مۇرەككەپ ساندۇر .قەدىمكى گېرىتسىيە دەۋرىدە ئىراتوسفىن (Eratosthenes تەخمىنەن مىلادىدىن ئىلگىرىكى 274-294 غىچە ) ئىسىملىك بىر ماتېماتىك « تاسقاش ئۇسۇلى » دىن ئىبارەت بىر ئۇسۇلنى ئىجاد قىلىپ تۈپ سانلارنى تاپقان . ئىراتوسفىن ، تەبىئىي سانلارنىڭ بىر قەۋەت شام يالىتىلغان بىر پارچە تاختىغا يېزىپ ، مۇرەككەپ سانلار يېزىلغان ئورۇنغا كىچىك تۆشۈكچىلەرنى تېشىپ قويغان ، بۇنىڭ بىلەن بۇ تاختا بىر غەلۋېرگە ئوخشىغان ، ئۇنىڭ بىلەن بارلىق مۇرەككەپ سانلارنى تاسقاپ چىقىرۋەتكەندە ، ئېشىپ قالغانلىرىنىڭ ھەممىسى تۈپ سان بولغان .شۇنىڭ بىلەن بۇنى كىشىلەر ئىراتوسفىن غەلۋېرى دەپ ئاتىغان .
كونكىرىتنى ئۇسۇلى مۇنداق : ئالدى بىلەن n دانە تەبىئىي ساننى تەرتىپ بويىچە تىزىمىز . 1 تۈپ سانمۇ ئەمەس ، مۇرەككەپ سانمۇ ئەمەس ، شۇڭا ئۇ سىزىۋېتىلىدۇ . ئىككىنچى سان 2 ، تۈپ سان بولۇپ ساقلاپ قالىمىز، ھەم 2 نىڭ كەينىدىكى بارلىق 2 نىڭ ھەسسىلىكلىرى سىزىۋېتىلىدۇ . 3 تۈپ سان بولۇپ ، ساقلاپ قالىمىز ھەم 3 نىڭ كەينىدىكى بارلىق 3 نىڭ ھەسسىلىكلىرى سىزىۋېتىلىدۇ . 3 نىڭ كەينىدىكى سىزىلمىغان بىرىنچى سان 5 بولۇپ ساقلاپ قالىمىز ھەم 5 نىڭ كەينىدىكى بارلىق 5 كە پۈتۈن بۆلۈندىغان سانلارنىڭ ھەممىسىنى سىزىۋېتىمىز ...، مۇشۇنداق داۋاملاشتۇرغاندا ، n دىن ئاشمىغان بارلىق مۇرەككەپ سانلارنىڭ ھەممىسى تاسقىتىۋېتىلىپ قېپقالغانلىرى دەل n دىن ئاشمىغان بارلىق تۈپ سانلار بولىدۇ .
1-تېئورما : a نى 1 دىن چوڭ بولغان تەبىئىي سان دەپ پەرەز قىلساق ، ئەگەر بىر تەبىئىي سان p مەۋجۇت بولۇپ ، p سان ، aنىڭ 1 دىن چوڭ بولغان ئەڭ كىچىك بۆلگۈچسى بولسا ، ئۇھالدا ، p چوقۇم تۈپ سان بولىدۇ .
ئەگەر بىر تەبىئىي ساننىڭ بۆلگۈچسى تۈپ سان بولسا ، ئۇنداقتا بۇ بۆلگۈچى ، شۇ تەبىئىي ساننىڭ تۈپ كۆپەيتكۈچسى دەپ ئاتىلىدۇ .
نەتىجە : 1 دىن چوڭ بولغان ھەرقانداق بىر تەبىئىي ساننىڭ ئەڭ ئاز دېگەندە بىردانە تۈپ كۆپەيتكۈچى بولىدۇ .
2- تېئورما : n نى 1 دىن چوڭ بولغان تەبىئىي سان بولسا ، ئەگەر بارلىق دىن چوڭ بولمىغان تۈپ سانلارنىڭ ھەممىسى n گە پۈتۈن بۆلۈنمىسە ، ئۇھالدا n تۈپ سان بولىدۇ .
3- تېئورما : تۈپ سانلار چەكسىز كۆپ بولىدۇ .
4- تېئورما : خالىغان بىر ، 1 دىن چوڭ بولغان پۈتۈن سان n گە نىسبەتەن ، ئارقىقىمۇ ئارقا كەلگەن n دانە تەبىئىي سان مەۋجۇت بولۇپ ، ئۇلار دىن باشلانغان تەبىئىي سان بولىدۇ .
مەسلەن ، 5 دانە ئارقىمۇ ئارقا كەلگەن مۇرەككەپ ساننى تاپايلى .
يېشىش : چۈنكى بولىدۇ . شۇڭا بۇ 5 سان ، 722 ، 723 ، 724 ، 725 ،726 بولىدۇ .
9. ئارىفمېتىكىلىق ئاساسىي تېئورما
تېئورما : ھەرقانداق بىر 1 دىن چوڭ بولغان پۈتۈن ساننى ،تۈپ سانلارنىڭ كۆپەيتمىسىگە ئاجىرتىشقا بولىدۇ . ھەم ، ئەگەر كۆپەيتكۈچلەرنىڭ تەرتىپىنى ھېسابقا ئالمىغاندا ، بۇ خىل ئاجىرتىش بىردىنبىر بولىدۇ . بۇ تېئورما ئارىفمېتىكىلىق ئاساسىي تېئورما دەپ ئاتىلىدۇ .
كونكرېتنى قىلىپ ئېيىتقاندا ، ھەر قانداق بىر 1 دىن چوڭ بولغان تەبىئىي سان a غا نىسبەتەن ، تۈپ سان لار مەۋجۇت بولۇپ بولىدۇ . ھەم بۇنداق لار بىردىنبىر بولىدۇ .
بىر مۇرەككەپ ساننى ئۇنىڭ تۈپ كۆپەيتكۈچىلىرىنىڭ كۆپەيتمىسى بىلەن ئىپادىلىسەك ، بۇنى بىز مۇرەككەپ سانلارنى تۈپ كۆپەيتكۈچلەرگە ئاجرتىش دەيمىز .
ھەرقانداق بىر 1 دىن چوڭ بولغان تەبىي سان a نى مۇنداق ئاجرتىشقا بولىدۇ :
بۇنىڭ ئىچىدىكى لار بولسا كىچىكىدىن چوڭىغا قارتا تىزىلغان تۈپ سانلار . بۇ خىل ئاجرتىش ئىپادىسى ئۆلچەملىك ئاجرتىش ئىپادىسى دەپ ئاتىلىدۇ . ھەم بۇ ئىپادە بىردىنبىر بولىدۇ .
مەسلەن ، 18 نىڭ ئۆلچەملىك ئاجرلىش ئىپادىسى بولىدۇ . ئەگەر قىلىپ يېزىلسا ، ئۆلچەملىك ئاجرلىش ئىپادىسى بولمايدۇ . چۈنكى ، تۈپ كۆپەيتكۈچلەر كىچىكىدىن - چوڭىغا قاراپ تىزىلمىغان.
مۇرەككەپ سانلارنى تۈپكەپەيتكۈچلەرگە ئاجرىتىشنىڭ ئەڭ ئاددىي ئۇسۇلى مۇنداق :
بىر مۇرەككەپ ساننى تەرتىپى بويىچە تۈپ سان
2، 3، 5، 7، 11 .... لەرگە سىناپ بۆلىمىز . سىناپ بۆلگەندە بۇ سان سىناق بۆلگۈچى قىلىنغان تۈپ سانغا بۆلۈنمىسە ، بۇ تۈپ ساننىڭ كەينىدىكى تۈپ سانغا سىناپ بۆلۈمىز. ھەم بۆلۈنمە تۈپ سان چىققاندا نەتىجىنى توختىتىمىز .
مەسلەن ، 1980 نى تۈپ كۆپەيتكۈچلەرگە ئاجرىتايلى.
يېشىش : 1980 نى 2 گە بۆلسەك ، 990 بولىدۇ . شۇڭا 2 ئۇنىڭ بىر تۈپ كۆپەيتكۈچسى بولىدۇ ؛
990 نى 2 يەنە 2 گە بۆلۈمىز ، نەتىجە 495 بولىدۇ . شۇڭا بۇ 2 مۇ ئۇنىڭ تۈپ كۆپەيتكۈچسى بولىدۇ؛
495 بولسا 2 گە پۈتۈن بۆلۈنمەيدۇ ، شۇڭا 3 كە بۆلۈمىز ، نەتىجە 165 بولىدۇ . شۇڭا 3 ئۇنىڭ بىر تۈپ كۆپەيتكۈچسى بولىدۇ ؛
165 نى يەنە 3 بۆلۈمىز ، نەتىجە 55 بولىدۇ . شۇڭا بۇ 3 مۇ ئۇنىڭ تۈپ كۆپەيتكۈچسى بولىدۇ ؛
55 بولسا 3 كە پۈتۈن بۆلۈنمەيدۇ . شۇڭا ئۇنى 5 كە بۆلۈمىز . نەتىجە 11 بولىدۇ . ھەم 11 بولسا تۈپ سان ، شۇڭا بۆلۈشنى توختىتىمىز . دېمەك 5 بىلەن 11 مۇ ئۇنىڭ تۈپ كۆپەيتكۈچسى بولىدۇ . شۇڭا بولىدۇ .
13- مىسال : نىڭ ئىراتسىئونال سان ئىكەنلىكىنى ئىسپاتلايلى .
ئىسپات : نى راتسىئونال سان دەپ پەرەز قىلساق ، ئۇھالدا ، ئىككى تەبىئىي سان p , q لار مەۋجۇت بولۇپ ، بولىدۇ . لوگارىفما ئېنىقلىمىسىدىن گە ئېرىشەلەيمىز . ھەم بولىدۇ . يەنى كېلىپ چىقىدۇ . يەنى بىر تەبىئىي ساننىڭ تۈپ كۆپەيتكۈچلەرگە ئاجرتىش ئىپادىسى ئىككى بولۇپ قالدى . شۇڭا بۇ ئارىفمېتىكىلىق ئاساسىي تېئورمىغا زىت . شۇڭا بىزنىڭ پەرىزىمىز خاتا . دېمەك مەسلە ئىسپاتلاندى .
بۇ مەزمۇن جەمئىي ئىككى بۆلەككە بۆلۈنىدۇ . ھازىر ئۇنىڭ 1- بۆلىكى تۈگىدى . 2- بۆلۈكىنى يېزىپ بولغىچە بىكار تۇرۇپ قالماي تۆۋەندىكى مەشىقلەرنى ئىشلىگەچ تۇرۇڭ . ئىمتىھان ئالىمەن جۇمۇ . ئۈتەلمەي قالماڭ !!!
1. لارنىڭ ھەممىسى پۈتۈن سان ، شۇنداقلا تەڭلىك قانائەتلىنىدۇ . ئۇنداقتا x نىڭمۇ پۈتۈن سان ئىكەنلىكىنى ئىسپاتلاڭ .
2. بىر 6 خانىلىق سان بىلەن 3 نىڭ كۆپەيتمىسى دەل گە تەڭ بولسا ، بۇ 6 خانىلىق ساننى تېپىڭ .
3. بىر 4 خانىلىق سان بولۇپ ، نىڭ 7 گە پۈتۈن بۆلۈنىدىغانلىقى بېرىلگەن . ئۇنداقتا نىڭمۇ 7 گە پۈتۈن بۆلۈنۈدىغانلىقىنى ئىسپاتلاڭ .
4. نىڭ 143 كە پۈتۈن بۆلۈنۈدىغانلىقىنى ئىسپاتلاڭ .
5.ئەگەر بىلەن نىڭ يىغىندىسى جۈپ سان بولسا ، ئۇھالدا نىڭ 2 گە پۈتۈن بۆلۈنۈدىغانلىقىنى ئىسپاتلاڭ .
6.بىر 4 خانىلىق سان نى تېپىڭ ، ئۇ دەل تولۇق كۋادرات سان بولسۇن .
7. ئەگەر بولسا ( بۇنىڭدا x,y لەر بولسا 0 دىن 9 غىچە بولغان رەقەم ) ، xy نىڭ قىممىتىنى تېپىڭ .
8.ئەڭ سىرلىق سان 0 نىڭ تۈپ سان ياكى مۇرەككەپ سان ئىكەنلىكىگە ھۆكۈم قىلىڭ .
9.ئارىفمېتىكىلىق ئاساسىي تېئورمىدىن پايدىلىنىپ بىلەن نىڭ ئىراتسىئونال سان ئىكەنلىكىنى ئىسپاتلاڭ .
10. 999999999999نى ئۆلچەملىك ئاجرىلىش ئىپادىسىگە ئاجرتىڭ .
http://ilimpen.com/article/Math/putun-san.html历史上的今天:
ئالتۇن بۆلۈش نىسبىتى نەزىريىسى 2010-10-23ﮬﺎﻣﯩﻠﺪﺍﺭ ﺋﺎﻳﺎﻟﻼﺭ ﺋﯩﮕﯩﻠﻪﺷﻜﻪ ﺗﯩﮕﯩﺸﻠﯩﻚ ﺳﺎﻧﻼﺭ 2010-10-23ئىسىملارنىڭ سانلار بىلەن بولغان مۇناسىۋىتى 2010-10-23سانلار تەھلىلى 2010-10-23ئۇيغۇرلاردا خاسىيەتلىك سانلار 2010-10-23
收藏到:Del.icio.us