ئوتتۇرا مەكتەپ ماتىماتكىسدا دائىم قوللىنىدىغان فورمىلالار

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常见的初中数学公式
8 e" Q$ x* S& S. o
1 过两点有且只有一条直线
. y0 N# l8 r! ]% g2 @/ b! u2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
8 e2 |, s2 e' M2 E5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
/ f8 h' N. B% ]( {6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
; x* P2 @5 Z, P7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
: N/ a# n( p9 d! @9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
2 ~: F& m" ]3 V+ U11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
* F  P/ T$ y# j9 T: @% B14 两直线平行，同旁内角互补
0 [1 w5 [. D* C: b7 z15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
7 i/ o: W7 m9 g; P17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
6 K+ }( W, _* |& z2 H; @2 s) C18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
4 B( M) b1 ]2 _& x20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
& L  c+ a: {* M4 v" L2 Z, W22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
4 }2 Y* _/ \2 a$ u. n- n28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
1 K2 Y9 \4 C6 H5 U$ j, c% s31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
" e  U" ?7 h9 d  v32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
# f" O5 t8 w9 C7 ]7 T35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
- d' H1 a* s( r0 O; U  w! L3 m# @36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
) m  B* ^: E  r9 S38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
3 \% Q0 X& v7 Q39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
( R0 {6 W% l' w& D$ [' }( w8 j; t41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
! }+ }" O+ S! n42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
, {. r% Z3 J/ h3 R' ?) d44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
# \$ l0 N( y# g/ P2 c8 d7 J46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
& Z: q: [+ e7 e0 L. {7 P& }49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
: i; d: a7 W1 V# W. s51推论 任意多边的外角和等于360°
+ n% z  K: t; v6 G, U52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
* c( o9 I3 E) R# e$ o- H' \/ q53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
) v9 \% J) |7 |5 t56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4 {/ m, W2 r! z9 {6 B) [! {4 b' G1 @58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
  n. a  s! [* Q7 S) t7 g59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
5 B3 G. d2 c; u& f/ t8 Y( O60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
2 C) }: k( o9 C& e5 `2 J# u9 G61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
( |/ Y9 V8 M7 @62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
/ k9 _4 A; [( o1 x" z63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
( p, }, s! z1 c( s* s% o) x5 J64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
+ I- H! v* {* P1 J! f65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
2 |. M9 K1 Y0 B: f: Q# }+ ^66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
3 S$ K' G: X8 I; f( z# ^7 b1 v% I68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
/ k/ t) L$ ^  `4 A6 M1 [69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
8 Q: x5 h" R& V' O. W* e) I- W- y) t72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
. f5 h2 N+ C, x73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一
( q! x7 p/ y3 P+ o4 d" o3 n点平分，那么这两个图形关于这一点对称
. r" X. G0 A$ h& h$ N8 u74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
" L9 C! W2 ]. l" ?7 W2 |75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
' l( k3 o* h" I( ~7 |* q1 s# I相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
+ o+ Z5 o9 {. J( p! Z; s79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
$ v5 T5 ]! l7 r80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第
三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它
的一半
" o# W# \/ x! d4 Z82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的
8 n! t2 q8 g; @* b  r一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc
2 B3 C4 I9 T( b3 L0 X" {! e如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
6 w$ M7 t% z" F+ W% u86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应
) P! J: r0 z" z( ]线段成比例
$ U/ C% g7 [3 \: J, \87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
# ^; t2 ?: `3 s- R6 \/ U1 J9 y8 i! r+ Z90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）
1 Y/ }: m+ {% m. U2 n9 Y92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
4 T. L6 ]4 q, R0 q6 \3 M角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平
  r# F% v' I+ U分线的比都等于相似比
) n1 ~: v& H- R6 L2 Q- G97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
5 ?! o0 i! C- z/ Z$ x98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
$ c* j) k7 F9 _$ {# A9 \99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等
于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
6 u9 y( t- @' N104同圆或等圆的半径相等
* i. p& B) ^2 y8 i; a$ N105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半
径的圆
7 X/ ~- F. b" b) b. M4 i106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直
平分线
1 G) L7 V5 ]! T2 m107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距
# Y) q5 |8 G9 X1 {$ F离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
7 a3 w( V7 x, e$ K" ?& {6 u②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
% g5 t- M1 Z6 @. O③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等
: h/ j' N# o+ q, h5 V115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
0 s9 d4 d6 r1 z5 n+ g* C( m* C117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
4 R$ ?, A! ]) I* C; L9 j对的弦是直径
, t9 R- j+ r6 c& W9 Y. l2 ]; r119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
- K6 R4 j9 v* Y, I4 P120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的内对角
121①直线L和⊙O相交 d＜r
7 X+ ~* B& ?9 m+ w5 z7 p②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
4 l& Z" `& @* k4 [123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
* u  n  i/ S  Q; w: R! G, Q124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
. Q. G- R' l5 l4 X7 S* b  h圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
0 i5 a. J$ i" A" C128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
& c2 e$ t& H: b7 n9 M( e, T9 C130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
6 E$ h2 c* X$ F# V  h/ z相等
2 K, [3 c9 G$ n& y  b) a* F# V131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
: m# y0 a- W  F9 }5 b, V" M两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
7 m. M. }" O' H. k, f, {134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
4 |8 M( t/ }$ ^/ B136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
! ]% B. c% @( e& m" I/ P  w: Y- U137定理 把圆分成n(n≥3):
" @% }. E  y5 j1 D( ]⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
# j) h4 Z( z. f; u0 M139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
4 C' {/ N5 P/ y$ q9 r. e) g4 j141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
. t1 {5 Q( C5 d" C4 W9 V# O142正三角形面积√3a／4 a表示边长
0 X6 r3 F; G0 Z' e143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
/ I8 r5 L& {2 N0 }: w  j2 s360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
  E! p6 G7 e+ C' p144弧长计算公式：L=n兀R／180
145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
- M' F0 m% y' B7 Y0 ]' `146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
7 A5 @' e' K' ]; O- E) e6 ]（还有一些，大家帮补充吧）
0 v6 D6 y$ M7 m1 D$ q
实用工具:常用数学公式


3 ]2 f1 ^- m' b公式分类 公式表达式
8 y5 }1 a8 O1 d6 _4 [
乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
7 }! b! @6 K' Y- ]$ `, }2 \
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
% B* a8 p# G, j: E3 {/ k
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
- e$ o6 W9 h- G6 ]" A5 i
! X' E) B$ s( S, f一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

3 R8 |* {% H) b1 E' r5 ]根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式
: P. e2 r/ X: m1 U8 }* e+ v  F* pb2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
" ^/ d3 p+ M# Y" {4 e% Pb2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

4 c0 L9 C# V- j. G, E4 x8 S# X三角函数公式

: D# `* J7 l5 x* a1 z9 \( e两角和公式
0 ]0 [2 o" |6 z# o9 r3 c' Esin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
1 M6 J) }: a9 S1 Z) Ktan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

" E# W4 H4 H7 r5 `倍角公式
8 Y% G3 z# L- n  H! r9 |4 Q0 Z$ Rtan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式
+ M% F! k! g8 I% V: `sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
, i2 q7 f; u; h5 L/ Ictg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

% ?4 i  t& @/ m2 D5 w和差化积
2 D* c% b# f0 s0 G2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
2 V1 {$ W0 t" m/ `9 P: J6 YctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和
$ W+ z3 t: I5 f1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
' L" s1 _1 g& m# \; ^* @' w2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
) P4 G. g5 }' i7 ~! k8 J9 {
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
+ P* r, F" z5 Z1 u0 u2 e
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l
! R  D" ~2 _. S# k7 e
4 N6 s# ?; a6 B7 w弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

: n" Y! i2 F- g" b3 F1 E7 R; ~锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
' g) |6 }  l, p斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
5 `0 G$ r/ M0 |+ f. y" l柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
: e0 W* Q+ j7 h1 \

تەقۋا999

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